2 Systeemin differenssiyhtälö on
`y(n)=x(n)+0.49*x(n-2)-0.5*y(n-1)-0.25*y(n-2)`
2.1 Piirrä systeemiä kuvaava lohkokaavio (järjestelmäkaavio)! (2 p)
2.2 Määritä systeemin siirtofunktio H(z)! (2 p)
`y(n)=x(n)+0.49*x(n-2)-0.5*y(n-1)-0.25*y(n-2)`
`\Leftrightarrow y(n)+0.5*y(n-1)+0.25*y(n-2)=x(n)+0.49*x(n-2)`
`\overset{\mbox{Z}}{\Leftrightarrow} Y(z)+0.5*Y(z)*z^-1+0.25*Y(z)*z^-2=X(z)+0.49*X(z)*z^-2`
`\Leftrightarrow Y(z)*(1+0.5*z^-1+0.25*z^-2)=X(z)*(1+0.49*z^-2) \| :X(z)`
`\Leftrightarrow (Y(z)*(1+0.5*z^-1+0.25*z^-2))/(X(z))=1+0.49*z^-2 \| :(1+0.5*z^-1+0.25*z^-2)`
`\Leftrightarrow {Y(z)}/{X(z)} = H(z) = (1+0.49*z^-2)/(1+0.5*z^-1+0.25*z^-2) \| *(z^2)/(z^2)`
`\Leftrightarrow H(z) = (z²+0.49)/(z^2+0.5*z+0.25)`
2.3 Määritä systeemin nollat ja navat sekä piirrä ne yksikköympyrän kanssa kompleksitasoon! (2 p)
Nollat: `z²+0.49=0 \Leftrightarrow z^2=-0.49 \Leftrightarrow z=\pm\sqrt(-0.49) \Leftrightarrow z=\pm 0.7i=0.7\angle\pm90°`
Navat: `z^2+0.5*z+0.25=0 \Leftrightarrow z=(-0.5\pm\sqrt(0.5^2-4*1*0.25))/(2*1)`
`\Leftrightarrow z=(-0.5\pm\sqrt(0.25-1))/(2) \Leftrightarrow z=(-0.5\pm\sqrt(-0.75))/(2)
\Leftrightarrow z=(-0.5\pm0.86603i)/(2)`
`\Leftrightarrow z=-0.25\pm0.43301i=0.5\angle\pm120°`
2.4 Määritä systeemin amplitudivaste kohdan 2.3 tuloksen avulla! (Jos et saanut kohdassa 2.3 järkevää
vastausta, piirrä joku nolla-napa-kuvio ja hahmota amplitudivaste sen perusteella.)! (2 p)
Vahvistus on pienimmillään taajuudella (kulmassa), johon siirtofunktion nollista on kyseiseen yksikköympyrän kehän pisteeseen lyhin matka suhteessa matkaan siirtofunktion navoista. Nollat ovat kulmataajuudella `pi/2` (90°) eli taajuudella `f_s/4` (`f_s` = näytteenottotaajuus), joten amplitudiminimi sijoittuu taajuusasteikon puolivälin paikkeille. Muista, että Nyquistin teoreeman mukaisesti digitaalisen suodattimen käyttökelpoinen taajuusalue on `0 \ldots f_s/2`. Navat ovat kulmassa 120° ja "työntävät" amplitudivasteen minimikohtaa hieman kohdan `\omega=pi/2` vasemmalle puolelle, josta vahvistus alkaa voimakkaasti kasvaa.
Kulmataajuudella `\omega=0` on etäisyys nolliin hieman pienempi kuin napoihin, joten vahvistus painuu hieman alle yhden. Kulmataajuudella `\omega=pi` (`f=f_s/2`) taasen navat ovat huomattavasti lähempänä kuin nollat, joten vahvistus on reilusti yli yhden. Tarkat vahvistuksen arvot saataisiin sijoittamalla vastaavat kulmataajuudet `\omega_n` siirtofunktioon, johon olisi ensin tehty sijoitus `z=e^(j*\omega_n)`.
Alla olevassa kuvassa vahvistus eli pystyasteikko on desibeleinä. 6 dB vahvistus tarkoittaa noin kaksinkertaista amplitudivahvistusta, -6 dB vaimentamista puoleen.
