autokorrelaatio mittaa signaalin jaksollisuutta (1 p)

autokorrelaatio saa suurimman arvonsa signaalin jaksonajan välein (½ p)

normalisointi tekee eri signaaleista lasketut autokorrelaatiot vertailukelpoisiksi skaalaamalla tuloksen -1…+1 -välille (½ p)

missä  on r_xx:n autokorrelaatiofunktio: 
ja  on signaalin autokorrelaatiofunktio viiveen arvolla nolla (1 p)

systeemi on stabiili, jos sen vaste palaa vähintään asymptoottisesti nollaan äärellisen syötteen jälkeen (1½ p)

systeemi on stabiili, jos sen navat sijaitsevat yksikköympyrän sisällä (½ p)

FIR-systeemi on aina stabiili, IIR-systeemi vaatii stabiiliustarkastelun (½ p)

systeemin impulssivaste on se jono, jonka systeemi tuottaa yksikköimpulssijonosta (1½ p)

merkinnät: yksikköimpulssijono d [n] ja impulssivaste h[n] (½ p)

lohkokaavion voi piirtää hyvin monella tavalla

Z-muunnetaan differenssiyhtälön molemmat puolet:

siirretään kaikki Y(z) -tekijät vasemmalle puolelle ja X(z) -tekijät oikealle puolelle ja otetaan Y(z) ja X(z) yhteisiksi tekijöiksi puolillaan:

• jaetaan yhtälön molemmat puolet X(z):lla ja Y(z):n kerroinlausekkeella:

• yllä oleva riittää tämän kohdan vastaukseksi, mutta viimeistään nollia ja napoja ratkaistaessa siirtofunktio tulee muuttaa muotoon, jossa esiintyy vain positiivisiin potensseihin korotettuja z-muuttujia. Muuttaminen tapahtuu laventamalla z²:lla:

• systeemin nollat saadaan siirtofunktion osoittajapolynomin nollakohdista, navat nimittäjäpolynomin nollakohdista
• nollat:

• navat:

• nolla-napa-kuvio:

• sijoitetaan siirtofunktioon z:n paikalle e^jw:

• vahvistus taajuudella 0 saadaan sijoittamalla kulmataajuudeksi w 0 rad/s:

• vastaavasti taajuudella p :

• e^j2pvastaa vektoria, jonka pituus on 1 ja suunta 360° eli reaaliakselilla plusykköseen yltävää vektoria. e^jptaasen vastaa vektoria, jonka pituus on myös 1, mutta suunta 180° eli reaaliakselilla miinusykköseen yltävää vektoria, joten

• amplitudivasteen hahmottamisessa käytetään hyväksi nolla-napakuviota sekä edellä laskettuja vahvistusten arvoja. Amplitudivastekäyrä lähtee nollataajuudelta vahvistuksen tasolta 1.06, nousee sieltä navan kohdalla maksimiarvoonsa (jonka vahvistusta ei tarvinnut laskea) ja laskee nollan vaikutuksesta taajuuteen p mennessä arvoon 0.794

• sovelletaan DFT-kaavaa:

• tässä tehtävässä näytejonon pituus on neljä näytettä eli N=4, k=2
• useassa ratkaisussa oli sekoitettu n ja x[n], vaikka kaava oli muistettu täsmälleen oikeassa muodossa - soveltaessa olikin sijoitettu järjestysnumero n arvon x[n] paikalle ja päinvastoin L
• sijoitetaan tehtäväkohtaiset arvot kaavaan ja ratkaistaan DFT:n arvo: 

• e^-j2pvastaa vektoria, jonka pituus on 1 ja suunta -360° eli reaaliakselilla plusykköseen yltävää vektoria. e^-j3ptaasen vastaa vektoria, jonka pituus on myös 1 mutta suunta kolme piitä eli kolme puolikierrosta vastapäivään - kyseessä on siis miinusykköseen yltävä vektori , joten 

• DFT kertoo signaalin sisältämien taajuuskomponenttien suhteelliset amplitudit sekä vaihekulmat. Taajuuskomponentteja saadaan selville yhtä monta kuin on näytepisteitä. Näiden komponenttien taajuudet jakaantuvat tasaisesti taajuusakselille välille 0…2p eli tasasignaalista näytteenottotaajuuteen. k:n arvo nolla vastaa tasasignaalia, arvo 1 vastaa taajuutta, jonka jakso on koko DFT:n kohteena olevan näytejonon pituus sekunneissa. Tätä taajuutta voidaan kutsua kyseisen näytejonon perustaajuudeksi. Jos näytejono on esimerkiksi 20 ms pitkä ja näytteitä on näytejonossa viisi kappaletta, on näytejonon pituus 5 x 20 ms = 100 ms. Tällöin k=1 vastaa taajuutta, jonka jakso on 100 ms, eli taajuus on 1/100 ms = 1/0.1 s = 10 Hz. k:n arvo 2 vastaa edellistä taajuutta kaksinkertaisena (esimerkissä siis 20 Hz), k:n arvo 3 taajuutta 30 Hz, jne

• suhteelliset amplitudit saataisiin muutettua absoluuttisiksi jakamalla ne näytejonon pisteiden lukumäärällä eli tässä tehtävässä neljällä

• tehtävässä 3.1 saatu tulos X[2]=2 tarkoittaa, että näytejonossa on perustaajuuteen nähden kaksinkertaista taajuutta kahden yksikön verran. Tämän taajuuskomponentin vaihekulma on 0 eli taajuutta vastaava sinisignaali alkaa näytejonon kanssa samasta kohdasta